а) Любые два соседних члена последовательности отличаются на 1, следовательно, они разной четности. Первый член 0 — четный, четность чередуется, значит, все члены с нечетными номерами четны, а с четными номерами — нечетны. Таким образом, 22-ой член последовательности должен быть нечетным и не может быть равен нулю.

б) Среди первых 11 членов последовательности ровно 6 четных (это те, у которых нечетные индексы: 1, 3, 5, 7, 9, 11). При этом мы знаем, что первый четный член равен нулю. Получаем противоречие, так как шесть двоек невозможно разместить на пяти свободных позициях для четных чисел.

в) Рассмотрим ненулевые Их сумма должна равняться 8, так как они равны количествам вхождений различных чисел в первую восьмерку.

Решим сначала другую задачу. Найдем максимально возможное значение, которое может принимать произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 8, а уже затем разберемся, какое наибольшее значение произведения реализуемо в условиях нашей задачи.

Пусть среди наших чисел с суммой 8 есть хотя бы одна единица, а их произведение равно то есть имеется следующий набор чисел: Тогда, если мы возьмем набор то сумма чисел в нем будет также равна 8, а произведение будет больше, чем в исходном. Таким образом, можем сделать вывод, что максимум произведения не может достигаться в наборе, в котором есть хотя бы одна единица.

Рассмотрим всевозможные наборы чисел с суммой 8, такие, что ни одно из чисел не равно единице, чтобы найти максимум произведения чисел в таком наборе. Рассмотрим, чему может равняться количество чисел в наборе.

• В наборе 5 и более чисел.

  В этом случае хотя бы одно из чисел будет равно единице, ведь даже уже превышает 8. Как мы доказали выше, ни в каком из таких наборов не может достигаться максимум произведения.

• В наборе 4 числа.

  Каждое из чисел не меньше 2, значит, единственный возможный вариант это четыре двойки. В этом случае произведение равно 16.

• В наборе 3 числа.

  Возможны следующие случаи (порядок не важен): Максимальное произведение достигается во втором случае и равно 18.

• В наборе 2 числа.

  Возможны следующие случаи (порядок не важен): Максимальное произведение достигается в третьем случае и равно 16.

• В наборе 1 число.

  Единственный возможный вариант, когда единственное число равно 8.

Теперь будем перебирать возможные значения произведения вниз начиная с наибольшего и проверять, реализуемы ли они в условиях исходной задачи.

• Произведение равно 18.

  Оно достигается в единственном случае, когда среди первых восьми чисел два числа три числа и три числа При этом мы знаем, что среди первых восьми чисел ровно 4 четных. Докажем, что какими бы ни были четности чисел и общее количество четных в нашем наборе из восьми не будет равно 4. Разберем несколько случаев:

  • Пусть среди нет ни одного нечетного, либо все нечетные. Тогда среди наших восьми чисел будет либо 0, либо 8 нечетных, а должно быть ровно 4.
  • Пусть среди ровно одно нечетное. Если это то среди наших восьми чисел будет 2 нечетных. Если — то 3, если — тоже 3. Ни в одном из этих вариантов количество нечетных не равно 4.
  • Пусть среди ровно два нечетных. Если это и то среди наших восьми чисел будет нечетных. Если и — то 6, если и — то 5. Ни в одном из этих вариантов количество нечетных не равно 4.

  Получили, что произведение, равное 18, не реализуемо.

• Произведение равно 17.

  Такое произведение не достигается путем перемножения чисел с суммой 8, так как один из множителей должен быть равен 17.

• Произведение равно 16.

  Есть пример, первые 8 членов последовательности равны: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Тогда остальные равны 0, тогда произведение ненулевых равно 16. В полученном примере все условия выполняются, следовательно, 16 — наибольшее достижимое значение произведения.