Пусть первая прогрессия имеет вид ,

пусть вторая прогрессия имеет вид .

 

Рассмотрим сначала случай, когда разности и прогрессий отличны от .

Пусть существуют пары натуральных чисел и такие что и . Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что , .

Тогда

но , следовательно,

Так как , то , тогда и существует

Так как , то , тогда и существует

Но , следовательно,

то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

 

Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей и равна .

Пусть , , тогда (последовательности из положительных чисел), тогда – возрастает, а – постоянна, следовательно, у уравнения может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть , , тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.