Справа от Тимура может сесть любой из 6 гостей. После того, как Тимур определится со своим правым соседом, на место справа от правого соседа Тимура может сесть любой из 5 гостей и т.д.

В итоге сосед, сидящий слева от Тимура будет, определён однозначно, то есть имеется вариантов, но не все они различны.

Пусть Тимур зафиксировал гостя, который будет его соседом справа, зафиксировал и его соседа справа и т.д. Он получил некоторую последовательность, в которой он будет сажать гостей, двигаясь в одну сторону вдоль граничной окружности стола.

Но если он будет сажать гостей в той же последовательности, двигаясь в другую сторону вдоль окружности, то при этом для каждого гостя состав его соседей не изменится.
 

Таким образом, когда мы получили вариантов, каждый вариант рассадки мы учли ровно по два раза, следовательно, у Тимура есть способов рассадить гостей.