Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
а) Да, например, числа на круге можно расположить так:
б) Рассмотрим число 13. Оно простое и взаимно просто со всеми остальными числами, следовательно, оба НОДа с его участием будут равны 1. Значит, такое невозможно.
в) Рассмотрим числа 11, 13 и 17. Они простые и взаимно просты со всеми остальными числами, следовательно, все НОДы с их участием будут равны 1. Пусть они стоят по кругу в некотором порядке. Каждое из чисел участвует ровно в двух НОДах.
Пусть 
— количество пар соседних среди наших чисел, тогда очевидно, что 
а количество НОДов единичек не менее
чем 
Всего 10 НОДов, среди которых хотя бы 4 единицы, значит, различных НОДов не более чем
7.
Построим пример с учетом знания того, что для достижения максимума числа 11, 13 и 17 должны стоять подряд:
а) Да
б) Нет
в) 7
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
