Рассмотрим функцию . Графиком является парабола с ветвями вверх.

Дискриминант может быть как отрицательным, так и равным нулю.

Рассмотрим отдельно случай, когда , то есть . При уравнение имеет единственный корень , при корень равен . Второй случай не удовлетворяет условию . Следовательно, подходит только .

Рассмотрим случай . Удовлетворять условию может либо левый , либо правый корень уравнения. Если , то . Если , то . Тогда

Заметим, что условие на дискриминант в данной случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, где значение функции отрицательно для параболы с ветвями вверх, то мы автоматически имеем два корня.

Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо , , , , . Нам подходят лишь или . В этих местах значение функции во всех точках положительное, если ветви направлены вверх. А также место, где значение функции отрицательное, если ветви направлены вверх.

Заметим, что если число 3 находится в , то число 1 не может попасть в , так как в таком случае было бы , что неверно. Аналогично для второй картинки. Именно поэтому систему можно написать так сокращенно.

Решая систему выше и объединяя со случаем , получаем .

Расшифровка:
– до левого корня,
– в левом корне,
– между корнями,
– в правом корне,
– правее правого корня.