Задача №1044: Функции. Исследование функции на возрастание/убывание — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.17 Функции. Исследование функции на возрастание/убывание

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1044

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

4cos x − atg2x = 3 + a

имеет на отрезке $[0;π ]$ ровно один корень.

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

С помощью формулы $1 1 + tg2x = ------ cos2x$ уравнение перепишется в виде

4cosx − --a---− 3 = 0 cos2x

Заметим, что если уравнение относительно $x$ имеет ровно один корень $x 1$ на $[0; π]$ , то уравнение относительно $cosx$ имеет также ровно один корень $t1 = cosx1$ на отрезке $[− 1;1]$ . Таким образом, рассмотрим функцию

a f(t) = 4t − -2 − 3 t

и найдем значения $a$ , при которых график функции пересекает отрезок $[− 1;1]$ оси абсцисс ровно в одной точке.
Найдем производную:

′ 2a- f (t) = 4 + t3

Производная равна нулю в точке:

∘ -- t0 = − 3 a- 2

Таким образом, область определения производной разбивается точками $t0$ и $0$ на три промежутка, в каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака.
Заметим, что при $a > 0$ $t0 < 0$ , при $a = 0$ $t0 = 0$ и при $a < 0$ $t0 > 0$ . В зависимости от расположения $t0$ относительно $0$ у нас будут получаться разные промежутки. Поэтому рассмотрим эти три случая по отдельности.

1) $a > 0 ⇒ t0 < 0$ . Тогда знаки производной будут такими:

$PIC$

Заметим также, что $f(t0) < 0$ при $a > 0$ . Действительно,

1 √ -- √ -- f(t0) = 3√---⋅ ( − 6 ⋅ 3a − 3 32) < 0 2

Таким образом, график функции $f (t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Таким образом, левая часть графика не пересекает ось абсцисс. Следовательно, для того, чтобы функция пересекала отрезок $[− 1;1]$ ровно в одной точке, нужно, чтобы правая часть графика пересекала ось абсцисс и эта точка была не правее 1. Это значит, что должно быть выполнено:

f(1) ≥ 0 ⇒ 4 − a − 3 ≥ 0 ⇒ a ≤ 1

Пересекая эти значения $a$ с условием $a > 0$ , получаем ответ $a ∈ (0;1]$ .

2) $a = 0$ . Тогда функция принимает вид

f(t) = 4t − 3

Функция пересекает ось абсцисс в точке $t = 3-∈ [− 1;1] 4$ , следовательно, $a = 0$ нам подходит.

3) $a < 0 ⇒ t0 > 0$ . Тогда знаки производной будут такими:

$PIC$

Заметим, что в этом случае однозначно не определяется значение $f(t0)$ . Поэтому рассмотрим по отдельности каждый случай.

3.1) $f(t0) < 0$ . Тогда

1 √3-- √3-- 1 3√---⋅ ( − 6 ⋅ a − 3 2) < 0 ⇒ a > − 4. 2

Таким образом, график функции $f (t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Заметим, что при $a > − 14$

∘ -- t = − 3 a-< 1- 0 2 2

Следовательно, график будет пересекать отрезок $[− 1;1 ]$ оси абсцисс хотя бы в одной точке (красная точка). Следовательно, нам нужно, чтобы больше не было точек пересечения с $[− 1;1]$ . Это значит, что

{ { f(− 1) > 0 − 4 − a − 3 > 0 f(1) < 0 ⇒ 4 − a − 3 < 0 ⇒ a ∈ ∅.

Таким образом, этот случай невозможен.

3.2) $1 f(t0) = 0 ⇒ a = − 4$ . График функции $f(t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Заметим, что при $1 a = − 4$

∘ -- t = − 3 a-= 1- 0 2 2

Следовательно, чтобы больше не было корней на $[− 1;1]$ , нужно:

f(− 1) > 0 ⇒ − 4 − a − 3 > 0 ⇒ a < − 7

Пересекая полученные значения с $a = − 1 4$ , получаем $a ∈ ∅$ . Таким образом, этот случай невозможен.

3.3) $f(t0) > 0 ⇒ a < − 1- 4$ . График функции $f (t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Следовательно, нужно:

f(− 1) ≤ 0 ⇒ − 4 − a − 3 ≤ 0 ⇒ a ≥ − 7

Пересекая эти значения с $a < − 14$ , получим $− 7 ≤ a < − 14.$

Теперь вспомним, что все случаи 3.1, 3.2 и 3.3 мы рассматривали при $a < 0$ . Следовательно, ответ для 3 случая: $1 − 7 ≤ a < − 4.$
Тогда окончательный ответ в задаче:

a ∈ [− 7;− 0,25) ∪ [0; 1]

Ответ:

$a ∈ [− 7;− 0,25) ∪ [0;1]$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ