Пусть . Рассмотрим несколько случаев:

 

1) . Тогда уравнение имеет единственное решение .

 

2) . Найдем производную . Т.к. , то при любых . Следовательно, функция монотонно возрастает на всем . Значит, имеет не более одной точки пересечения с осью .

 

Заметим, что , следовательно, на промежутке есть точка , в которой . Значит, и есть единственное решение данного уравнения.
 

 

3) . Обозначим .

 

Рассмотрим уравнение в виде . Обозначим . Найдем положительные значения , при которых функции и имеют ровно одну точку пересечения.

Найдем значения , при которых касается :

 

. Пусть – точка касания. Тогда:

Значит, при функции и имеют 2 точки пересечения, а при функции и имеют ровно одну точку пересечения (например, прямая, обозначенная пунктиром).
 

 

Тогда .

Значит, уравнение будет иметь единственный корень при .