Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет больше трех решений.
Преобразуем первое равенство. Так как равносильно при , то
Графиком полученной системы является объединение частей гиперболы и прямой , лежащие в области под гиперболой
Преобразуем второе равенство. Будем рассматривать его как квадратное относительно переменной :
Его дискриминант равен
Следовательно, решения
Графиком полученной совокупности является объединение двух прямых, одна фиксирована — это , а представляет собой пучок прямых, проходящих через точку
Изобразим все графики на одной координатной плоскости и определим положения, которые может занимать прямая , чтобы имелось более трех точек пересечения. Голубым цветом обозначена область, задающаяся неравенством , зеленым цветом обозначены графики функций и , а розовым — прямые и .
Заметим, что точка пересечения и лежит на гиперболе .
Также заметим, что две точки пересечения и имеются всегда: их дает прямая . Значит, нужно, чтобы прямая давала как минимум две точки пересечения.
-
Рассмотрим и будем вращать прямую (назовем ее ) от до . Прямая соответствует и в этом положении дает одну точку (не подходит). При увеличении прямая дает две точки пересечения (одну в правой полуплоскости, вторую – в левой, обе с ), и так происходит до тех пор, пока не окажется в положении прямой (пройдет через точку ). Вращая далее, прямая будет также давать две точки пересечения, но в левой полуплоскости эта точка будет уже на прямой . И так вплоть до положения прямой , когда эта точка пересечения совпадет с точкой (не подходит). вращая далее вплоть до прямая будет продолжать давать две точки пересечения, что нам подходит.
Следовательно, , . Как мы уже сказали, , найдем .
Точка — точка пересечения прямых и , следовательно, . Подставим координаты этой точки в уравнение :
Значит. . Таким образом,
-
Рассмотрим . Будем вращать прямую в обратном направлении от до . Вплоть до положения прямой (проходит через точку ) прямая дает две точки пересечения, положение нам не подходит. Вращая далее, мы получаем две точки пересечения (все так же в правой полуплоскости), пока не окажется в положении (коснется гиперболы в правой полплоскости). Это положение и все последующие нам уже не подходят. Следовательно, .
точка — точка пересечения прямой и гиперболы :
Подставим координаты точки в уравнение :
Теперь найдем : когда прямая касается в точке :
Значит,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!