Тема 18. Задачи с параметром
18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37046

Найдите a  , при которых все корни уравнения

   2    3    2
3ax +(3a − 12a − 1)x− a(a− 4)= 0

удовлетворяют условию |x|< 1  .

Показать ответ и решение

Уравнение может быть линейным при a =0  и квадратичным при a⁄= 0  .

1. Пусть a =0  . Тогда уравнение принимает вид

−x =0  ⇒   x= 0

Этот корень по модулю меньше 1. Это a  нам подходит.

2. a ⁄=0  .

      3    2    2    2
D = (3a − 12a − 1) +12a (a − 4)

Видим, что скорее всего нам не удастся найти нули дискриминанта обычным способом.

Сделаем замену 3a= t  , a(a− 4)=p  . Тогда уравнение и дискриминант принимают вид

tx2+ (tp− 1)x − p =0
D =(tp − 1)2+4tp= t2p2− 2tp+ 1+ 4tp= (tp +1)2 ≥0

Следовательно, корни уравнения равны

x = −-tp+-1±-(tp+-1)= 1;−p
         2t        t

Так как корни должны быть по модулю меньше 1, то

                                  (
(| ||1||            (                 ||||a|> 1
|{ ||t||< 1     ⇒   {|3a|> 1       ⇔   |{     3         ⇔   a∈ (2+√3;2+ √5)
||(               (|a2− 4a|< 1      |||a2− 4a− 1< 0
  |− p|<1                          |(a2− 4a+ 1> 0

Следовательно, a= 0  или        √-   √ -
a ∈(2+  3;2 +  5).

Ответ:

 a ∈{0}∪(2+ √3;2+√5-)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!