Тема 17. Задачи по планиметрии
17.17 Задачи, требующие дополнительного построения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18207

На сторонах BC  и CD  квадрата ABCD  выбраны точки P  и Q  соответственно таким образом, что

а) ∠P AQ = ∠QAD.  Докажите, что AP = DQ + BP.

б) ∠P AQ = 45∘.  Докажите, что P Q= BP + DQ.

Показать ответ и решение

а) Обозначим ∠DAQ  = ∠QAP = α, ∠PAB  = β.  Тогда ∠AQD  = ∠QAB  = α+ β  как накрест лежащие при параллельных прямых AB  и CD.

На продолжении отрезка CB  за точку B  отметим такую точку Q ′,  что Q′B =QD.

PIC

Тогда прямоугольные треугольники QDA  и Q ′BA  равны по двум катетам (AB = AD, Q ′B = QD  ), следовательно, их соответствующие острые углы тоже равны ∠AQ ′B = ∠AQD  = α+ β, ∠BAQ ′ = ∠DAQ =α.

Рассмотрим треугольник AP Q′.  В нем Q′P = AP,  так как ∠AQ ′P = α + β = ∠BAQ ′+ ∠P AB = ∠PAQ ′.  Получаем        ′    ′
AP = Q P = Q B +BP  = DQ + BP,  что и требовалось доказать.

б) Обозначим ∠DAQ  =α, ∠PAB  = β.  Тогда                                        ∘    ∘    ∘
α + β = ∠DAQ + ∠PAB = ∠DAB  − ∠QAP  = 90  − 45 = 45 .

На продолжении отрезка CB  за точку B  отметим такую точку Q ′,  что Q′B =QD.

PIC

Тогда прямоугольные треугольники QDA  и Q ′BA  равны по двум катетам (AB = AD, Q ′B = QD  ), следовательно, их соответствующие острые углы и гипотенузы тоже равны ∠BAQ ′ = ∠DAQ = α, AQ = AQ′.

Рассмотрим треугольники APQ ′ и APQ.  Они равны по углу (∠QAP  =45∘ =α + β = ∠BAQ ′+ ∠P AB = ∠PAQ ′ ) и прилегающим к нему сторонам (AP  — общая, AQ = AQ ′ ). Тогда их оставшиеся стороны тоже равны и         ′          ′
P Q= P Q = PB + BQ  = PB + QD,  что и требовалось доказать.

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!