Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник . Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Пирамида не является правильной.
а) Докажите, что высота пирамиды падает в центр вневписанной для треугольника окружности.
б) Найдите объем пирамиды, если , а сторона основания равна .
а) Пусть – высота пирамиды. Проведем перпендикуляры к прямым
соответственно. По теореме о трех перпендикулярах наклонные также будут
перпендикулярны этим прямым. Следовательно, по определению — линейные
углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием. Т.к. эти углы равны, то
по катету и острому углу ( – общий катет).
Таким образом, . Таким образом, тока равноудалена от прямых . Значит, это либо центр вписанной в окружности, либо центр вневписанной окружности (касающейся стороны и продолжений двух других сторон). Т.к. пирамида не является правильной, то первый вариант не подходит, чтд.
б) Обозначим . Пусть для определенности – центр окружности, касающейся стороны и продолжений сторон и . Тогда лежит на биссектрисе угла . Следовательно, – биссектриса, а т.к. – правильный, то . Следовательно, точка лежит на биссектрисе .
Значит, . Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то . Следовательно, . К тому же (как половина ). Значит,
Следовательно, . Из прямоугольного
Таким образом, объем пирамиды равен
б)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!