Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребре правильной четырехугольной пирамиды с основанием отмечена точка причем Точки и — середины ребер и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.
а) Пусть — высота пирамиды, следовательно, так как пирамида правильная, — точка пересечения диагоналей квадрата Тогда отрезок пройдет через точку причем Построим сечение пирамиды плоскостью
Плоскости и пересекаются по прямой плоскости и — по прямой Так как то плоскости и пересекутся по прямой
Действительно, если это не так, то есть то — это общая точка плоскости и плоскости следовательно, Но следовательно, что невозможно, так как
Таким образом, — трапеция.
Так как то по теореме Фалеса
Так как пирамида правильная, то ее боковые ребра равны, следовательно, Также и все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, то есть, например, Следовательно, откуда
Значит, — равнобедренная трапеция.
б) Нужно найти отношение Пусть То есть нужно найти
Введем обозначения: Тогда
Найдем Тогда
В пирамиде — вершина, — основание. Для того, чтобы найти ее объем, нужно найти высоту
Пусть — середина Так как — середина и трапеция равнобедренная, то то есть — высота трапеции.
Утверждение: точка лежит на прямой
Действительно, пусть проведена Тогда, так как (наклонная), то по теореме о трех перпендикулярах (проекция). Так как к одной прямой в плоскости не может быть проведено два различных перпендикуляра и следовательно,
Прямая пересечет в точке — середине так как — середина и Тогда
с коэффициентом следовательно,
Рассмотрим плоскость и трапецию
Из Так как то следовательно,
Тогда по теореме косинусов из
Заметим, что
По теореме синусов из
Тогда из прямоугольного
Таким образом,
Тогда
Также
Следовательно,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!