Будем считать, что — длина диагонали , — это угол между диагональю и гранью , а — угол между диагональю и гранью .

Известно, что угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Также мы знаем, что проекциями диагонали на грани в прямоугольном параллелепипеде являются соответствующие диагонали граней. Из этого получаем, что .

— прямоугольный с прямым углом , — прямоугольный с прямым углом , кроме того, — прямоугольник и , тогда

По теореме Пифагора для треугольника

CD = = = d

Итого, объем параллелепипеда равен

V = DA ⋅ DD1 ⋅ DC = dsinβ ⋅ dsinα ⋅ d = d3 sinα sinβ