Тема 14. Задачи по стереометрии
14.18 Угол между скрещивающимися прямыми
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36201

Пусть p  и q  — данныве скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую q  плоскость π  , пересекающую прямую p  . Спроектируем прямую p  на плоскость π  и назовемм p1  —- ее проекцию. Докажите, что верна следующая формула

cos∠(p,q)= cos∠(p,p1)⋅cos∠(p1,q)

 

(Теорема о трех косинусах)

Показать ответ и решение

Пусть p∩ p = O
    1  . Параллельно перенесем прямую p  в точку O  и получим трехгранный угол. Пусть AC ⊥ (q,p )
       1  , следовательно, AC ⊥ OC  . Проведем BC ⊥ OC  , B ∈ q  .Тогда △ACB  прямоугольный. ∠(p,q)=α  , ∠ (p,p1)= β  , ∠(q,p1)= γ  .

PIC

По теореме косинусов из △ABO  :

AB2 = AO2 +BO2 − 2AO ⋅BO ⋅cosα

По теореме Пифагора из △ACB  :

AB2 = AC2 +BC2

Вычтем из первого равенство второе:

    2    2      2    2                            2
−(AO − AC )− (BO  − BC )+ 2AO⋅BO ⋅cosα = 0 ⇔   −2CO  + 2AO ⋅BO ⋅cosα =0

Так как CO-= cosβ
AO  , CO-=cosγ
OB  , то

cosα =cosβ⋅cosγ
Ответ: Доказательство

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!