Задача №86505: Тригонометрические: сведение к однородному уравнению — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 13. Решение уравнений

13.05 Тригонометрические: сведение к однородному уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86505

а) Решите уравнение $cos22x − (sinx+ 2cos2(x+ π)) cos2x +2 sinxcos2(x+ π-)= 0. 4 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $t= cos2x :$

t2− (sinx +2 cos2(x + π))t+2 sinxcos2(x+ π) = 0 4 4

Тогда сумма и произведение корней $t1$ и $t2$ уравнения, если таковые есть, равны

( ( π) |{ t1 +t2 = sin x+ 2cos2 x + 4 |( 2( π) t1t2 = 2sin xcos x + 4

По обратной теореме Виета получаем, что

⌊ ⌈t1 = sinx ( ) t2 = 2cos2 x + π 4

Таким образом, возвращаясь к $cos2x,$ получаем совокупность

⌊ cos2x= sin x ⌈ 2( π) cos2x= 2cos x+ 4 ⌊ 2 |2sin x+ sinx − 1 =( 0 ) |⌈ 1 + cos 2x+ π- 1+ cos2α cos2x= 2⋅-------2----2- (воспользовались ф ормулой cos2α= ---2---) ⌊ sin x= −1 |||sin x= 1 ⌈ 2 cos2x+ sin2x = 1 ⌊ |sin x= −1 ||sin x= 1 |⌈ ( 2 π) 1 sin 2x+ 4- = √-- 2 ⌊x = − π-+ 2πn,n ∈ ℤ || 2 ||x = π+ 2πm, m ∈ℤ || 65π |||x = 6-+ 2πp,p∈ ℤ || π- π- |⌈2x+ 4 = 4 + 2πk,k ∈ ℤ 2x+ π-= 3π + 2πl,l ∈ ℤ 4 4 ⌊x = − π-+ 2πn,n ∈ ℤ || 2 ||x = π+ 2πm, m ∈ℤ || 65π ||x = 6-+ 2πp,p∈ ℤ ||| |⌈x = πk,k ∈ℤ x = π+ πl,l ∈ℤ 4

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 2π; 7π , 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$7231911πππ3π37πππ 26446$

Следовательно, на отрезке $[ 7π] 2π; 2$ лежат числа

13π 9π 17π 13π 7π 2π;-6- ;4-;-6-;3π; -4-;2-

Ответ:

а) $− π+ 2πn,n ∈ℤ; π-+ 2πm,m ∈ ℤ; 5π +2πp,p∈ ℤ;πk,k ∈ ℤ; π-+πl,l ∈ ℤ 2 6 6 4$

б) $13π 9π 17π 13π 7π 2π;-6-;-4 ;-6-;3π;-4-;-2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse