Тема 15. Решение неравенств
15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#874

Решите неравенство

                               2
              2         (x-−-3)--
logx2+1 (x − 3) ⋅ logx2+1 (x2 + 1)3 ≤ − 2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

(
|| x2 + 1 > 0
|||   2                     {
{ x  + 1 ⁄= 1                x ⁄= 0
| (x − 3)2 > 0       ⇔      x ⁄= 3
|||  (x − 3)2
|(  --2----3-> 0
   (x  + 1)
Таким образом, ОДЗ неравенства: x ∈ (− ∞;  0) ∪ (0;3) ∪ (3; +∞ )
Решим неравенство на ОДЗ:
log 2  (x − 3)2 ⋅ (log 2  (x − 3)2 − log 2 (x2 + 1)3) ≤ − 2
   x +1             x +1              x +1
Сделаем замену t = logx2+1(x − 3)2   , тогда неравенство примет вид:
t(t − 3) ≤ − 2  ⇔    (t − 1)(t − 2 ) ≤ 0 ⇔     1 ≤ t ≤ 2
Сделаем обратную подстановку:
{                               {
  logx2+1(x − 3)2 ≥ 1            logx2+1 (x − 3)2 ≥ logx2+1 (x2 + 1 )
  log 2  (x − 3)2 ≤ 2      ⇔     log 2   (x − 3)2 ≤ log 2   (x2 + 1 )2
     x +1                           x +1              x +1

Заметим, что так как на ОДЗ  2
x  > 0  , то  2
x  + 1 > 1  , следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны

                                (                                               (
{        2    2                 |{ x ≤ 4-                                        |{ x ≤  4-
  (x − 3) ≥  x +  1        ⇔          3                                    ⇔           3
  (x − 3)2 ≤ (x2 + 1 )2           |(           2               2                   |(   2
                                  (x − 3 − x −  1)(x −  3 + x + 1) ≤ 0             (x  − x + 4)(x + 2)(x − 1) ≥ 0

Решая второе неравенство методом интервалов, получим x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [1;+ ∞ )
После пересечения данного множества с     4
x ≤ 3   и с ОДЗ получим окончательный ответ                 [   4]
x ∈ (− ∞; − 2] ∪ 1; 3

Ответ:

            [    ]
(− ∞; − 2] ∪ 1; 43

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!