Задача №1808: Логарифмические неравенства с переменным основанием — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 15. Решение неравенств

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1808

Решите неравенство

log 10 > log 10 x (x+0,5)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x > 0 ( |{ |{ x > 0 x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 ||| x + 0,5 > 0 |( ( x + 0,5 ⁄= 1 x ⁄= 0,5

На ОДЗ:

log 10 > log 10 ⇔ -1--> ----1------. x (x+0,5) lg x lg(x + 0,5)

Рассмотрим отдельно случаи $x ∈ (0;0, 5)$ , $x ∈ (0,5; 1)$ и $x ∈ (1;+ ∞ )$ .

1) $x ∈ (0;0,5)$ , тогда

lg x < 0, lg (x + 0, 5) < 0,

следовательно,

-1-- > -----1----- ⇔ lg(x + 0,5 ) > lg x ⇔ lg x-+-0,5-> lg1 ⇔ lgx lg(x + 0,5) x x + 0,5 ⇔ --------> 1 ⇔ x + 0, 5 > x ⇔ 0, 5 > 0 x

Таким образом, все $x ∈ (0; 0,5)$ идут в ответ.

2) $x ∈ (0,5;1)$ , тогда

lg x < 0, lg (x + 0, 5) > 0,

следовательно,

-1--< 0 < -----1----- lgx lg(x + 0,5)

Таким образом, среди $x ∈ (0,5;1)$ решений нет.

3) $x ∈ (1;+ ∞ )$ , тогда

lg x > 0, lg (x + 0, 5) > 0,

следовательно,

-1-- > -----1----- ⇔ lg(x + 0,5 ) > lg x ⇔ lg x-+-0,5-> lg1 ⇔ lgx lg(x + 0,5) x x + 0,5 ⇔ --------> 1 ⇔ x + 0, 5 > x ⇔ 0, 5 > 0 x

Таким образом, все $x ∈ (1; +∞ )$ идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все $x$ из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

x ∈ (0;0,5) ∪ (1; +∞ ).

Ответ:

$(0;0,5) ∪ (1;+ ∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse