Тема 15. Решение неравенств
15.07 Метод рационализации
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71554

Решите неравенство

        2
logx−4(2x − 9x+ 4)> 1.
Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

(|2x2− 9x+ 4> 0,
{x − 4 > 0,
|(
 x − 4 ⁄= 1.

(  2
|{ x − 4,5x +2 > 0,
|( x> 4,
  x⁄= 5.

Нули левой части первой строки системы легко определить по Виету: x1+ x2 = 4 +0,5= 4,5  и x1⋅x2 = 4⋅0,5 = 2.

(
|{ 2(x − 0,5)(x− 4)> 0,
|( x> 4,
  x⁄= 5.

Таким образом, получаем ОДЗ x∈ (4;5)∪ (5;+ ∞).

Перейдём к решению неравенства. представим единицу как logx−4(x − 4):

logx−4(2x2− 9x+ 4)> logx−4(x− 4),

log   (2x2− 9x + 4)− log  (x − 4)> 0.
  x−4                x−4

Применим метод рационализации:

(x− 4− 1)((2x2− 9x+ 4)− (x − 4))> 0,

(x − 5)(2x2− 10x +8)> 0,

(x − 5) ⋅2 ⋅(x2− 5x +4)> 0,

2(x− 5)(x2 − x − 4x + 4) >0,

2(x− 5)(x(x− 1)− 4(x − 1))> 0,

2(x − 5)(x− 1)(x − 4)> 0.

По методу интервалов для рационального неравенства получаем x ∈(1;4)∪(5;+∞ ).

Пересекаем промежутки ОДЗ и решений рационального неравенства и получаем x ∈ (5;+∞ ).

Ответ:

x ∈(5;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!