Задача №82246: Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 13. Решение уравнений

13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82246

а) Решите уравнение

( ) log22-12 sin-x+-cosx 3 log2cosx + log2cos x+ 4= 4log2(sinx +2 cosx)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2π].$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

( ) log22-12 sinx+-cosx log2cosx + 3log2cosx= 4 (log2(sinx + 2cosx)− 1) ( ) ( ) log22-12 sinx+-cosx-+ 3log cosx= 4 log 1 sinx +cosx log2cosx 2 2 2

Сделаем замену $( ) a = log2 12 sinx+ cosx ,$ $b= log2cosx.$ Тогда $b⁄= 0$ и уравнение примет вид

2 a-+ 3b= 4a |:b⁄= 0 b (a )2 a b − 4⋅b +3 =0 ⌊ | a= 3 |⌈ b a= 1 b

Заметим, что

a log2(1sin x+ cosx) ( 1 ) b =-----2log-cosx---- = logcosx 2 sin x+ cosx 2

Сделаем обратную замену:

(⌊ 1 ||||| 2 sin x+ cosx = cos3x ⌊ (1 ) |||||⌈ 1 |logcosx 2 sinx+ cosx =3 |||{ 2 sin x+ cosx = cosx |⌈ ( ) ⇔ 1sinx + cosx > 0 logcosx 1 sinx+ cosx =1 ||||| 2 2 ||||cosx >0 ||(cosx ⁄=1

Получаем

(|⌊ sinx = 2cosx(cos2 x− 1) (|⌊ (2 sinxcosx+ 1)sin x= 0 (| ⌊sin x= 0 |||||⌈ |||||⌈ ||||| ⌈ { sinx = 0 { sinx = 0 { sin 2x= −1 |||cosx> 0 ⇔ |||cosx> 0 ⇔ ||| cosx > 0 |||( |||( |||( cosx⁄= 1 cosx⁄= 1 cosx ⁄= 1

Тогда

(||⌊ |||||| x= πn,n ∈ℤ ||{⌈ π- π | x= − 4 + πn,n ∈ℤ ⇔ x= − 4-+2πm, m ∈ℤ ||||cosx >0 |||( cosx ⁄=1

б) Отберем корни с помощью неравенства:

π 7π 0≤ −-4 + 2πm ≤ 2π ⇒ m = 1 ⇒ x= 4-

Ответ:

а) $− π+ 2πm, m ∈ℤ 4$

б) $7π -4$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse