Тема 13. Решение уравнений
13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82105

а) Решите уравнение

              √----------                  ∘-----------
5c2o2sx−2tg2x−12−3 c1o1sx−3−tg2x − --2-4-11----=51+3 c1os1x− co1s2x−2
                           5tg x−cosx+6

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [  5π]
 π;2- .

Показать ответ и решение

а) Заметим, что 1+ tg2x = --12-,
         cos x  откуда tg2x = -12-− 1.
      cos x  Следовательно, уравнение примет вид

              ∘-----------                     ∘-----------
5c2o2sx− co2s2x− 10−3 c1o1sx− co1s2x−2 − 4 ⋅5 1co1sx−co1s2x−5 = 5⋅53 c11osx−co1s2x−2

Заметим, что можно сделать замену

     ∘---------------
(||      -11--  --1--
||||y =   cosx − cos2x − 2
{     y2−3
|||a = 5
|||(    3y
 b =5

Учтем, что y ≥ 0,  a> 0,  b> 0.

Тогда уравнение примет вид

a2 − 4a − 5b= 0 |:b
 b
( a)2    a         (   a   )
  b  − 4⋅b − 5 = 0  t= b >0

t2− 4t − 5 =0
⌊
⌈ t= −1
  t= 5
a
b = 5

5y2− 3y−3 = 5

y2− 3y− 4= 0
⌊
⌈ y = −1
  y = 4

y = 4

Сделаем обратную замену, положив z = c1osx :

∘ ----------
  11z − z2 − 2 = 4
z2− 11z+ 18 = 0
⌊
⌈ z = 2
  z = 9

Следовательно, получаем

⌊       1       ⌊     π-
|| cosx = 2       ||x =± 3 + 2πn,n ∈ ℤ
⌈       1   ⇔   ⌈          1
  cosx = 9        x =± arccos9 + 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [    ]
 π; 5π ,
    2  концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

557πππ   1 1
π−a2 arc33rccocso9s9+ +2π2π

Следовательно, на отрезке [     ]
 π; 5π
    2 лежат числа

− arccos 1 + 2π; 5π; 7π; arccos 1+ 2π
       9       3  3        9
Ответ:

а) ± π+ 2πn,n ∈ℤ; ±arccos 1+ 2πm,m ∈ ℤ
  3                   9

б)        1      5π  7π       1
− arccos9 + 2π;-3 ;-3 ; arccos9 + 2π

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!