Тема 13. Решение уравнений
13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72209

а) Решите уравнение 16sinx+ 5⋅22sinx− 14 = 0.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π2 ;3π].

Показать ответ и решение

Преобразуем запись согласно свойству степеней (ab)c = abc :

24sinx +5 ⋅22sinx − 14 =0,

(22sinx)2 +5 ⋅22sinx − 14 = 0,

Сделаем замену 22sinx = t:

t2 +5t− 14= 0,

D =52 − 4 ⋅1 ⋅(− 14) =25 +56 =81 = 92,

⌊
|t = −5+-9-=2,
⌈   −5 2− 9
 t= --2---= −7.

Обратная замена:

[ 2sinx
 2    = 2,
 22sinx = −7.

Второе уравнение системы не имеет решений, поскольку показательная функция принимает только положительные значения. Рассмотрим первое уравнение:

2sinx   1
2    = 2,

2sin x= 1,

sinx= 1,
      2

⌊    π-
|x = 6 + 2πn,n ∈ℤ,
⌈x= 5π + 2πn,n ∈ ℤ.
     6

б) Отберем корни методом двойных неравенств:

Первая серия:

3π   π-
 2 ≤ 6 +2πn ≤ 3π,

9π ≤ π+ 12πn ≤18π,

9 ≤ 1+ 12n ≤ 18,

8≤ 12n≤ 17,

-8 ≤n ≤ 17,
12      12

8-      -5
12 ≤ n ≤112.

С учётом условия n ∈ℤ  получаем, что n =1.  Вычисляем корень:

x1 = π+ 2π⋅1 = 13π-.
     6          6

Вторая серия:

3π ≤ 5π-+ 2πn≤ 3π,
2    6

9π ≤5π + 12πn ≤ 18π,

9 ≤ 5+ 12n ≤ 18,

4≤ 12n≤ 13,

-4 ≤n ≤ 13,
12      12

4-      -1
12 ≤ n ≤112.

С учётом условия n ∈ℤ  получаем, что n =1.  Вычисляем корень:

x2 = 5π +2π ⋅1= 17π.
     6          6
Ответ:

а) x = π+ 2πk,
    6  x = 5π+ 2πk,
    6  k  — целое.

б) x = 13π,
     6  x= 17π
    6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!